C 语言数的表示（二）

纯理论记录 C 语言是如何表示数值的，原理向，仅记录备忘。

十进制与二进制的转换

先记公式，任意一个二进制浮点数 V 可以表示成下面的形式：

V = (-1)^s × M × 2^E

1. (-1)^s 表示符号位，当 s = 0 时，V 为正数，当 s = 1 时，V 为负数。

2. M 表示有效数字，大于等于 1，小于 2。

3. 2^E 表示指数位。

举例说明，十进制的 5.0，写成二进制是 101.0，相当于 1.01 × 2^2，那么，s = 0，M = 1.01，E = 2。

• 32 位浮点数，最高 1 位是符号位 S，接着 8 位是指数 E，剩下 23 位为有效数字 M。
• 64 位浮点数，最高 1 位是符号位 S，接着 11 位是指数 E，剩下 52 位为有效数字 M。

IEEE 754 对有效数字 M 和指数 E 还有一些特别的规定：

对于有效数字 M

1 ≤ M < 2，也就是说 M 可以写成 1.XXXX 的形式，其中 XXXX 表示小数部分。

在计算机内部保存 M 时，默认这个数的第一位总是 1，因此可以被舍去，只保存后面的 XXXX 部分。比如保存 1.01 的时候，只保存 01，等到读取的时候，再把第一位的 1 加上去。这样的目的，是节省 1 位有效数字。

以 32 位浮点数为例，留给 M 只有 23 位，将第 1 位舍去以后，等于可以保存 24 位有效数字。

对于指数 E

首先，E 为一个无符号数 unsigned int，如果 E 为 8 位，它的取值范围为 [0, 255]；如果 E 为 11 位，它的取值范围为 [0, 2047]。

但是，我们知道，科学计数法中 E 是可以出负数的，所以 IEEE 754 规定，E 的真实值必须再减去一个中间数，对于 8 位的 E，这个中间数是 127，对于 11 位的 E，这个中间数是 1023。

E 减去中间数得到的值即为指数阶码值(exponent bias)，是指浮点数表示法中的指数域的编码值为实际值加上某个固定值，IEEE 754 规定该固定值为 2^(e-1) - 1，其中 e 为存储指数的比特的长度。

比如 2^10 的 E 是 10，保存的成 32 位的浮点数时，必须保存成 10 + 127 = 137，即 10001001。

采用指数的实际值加上固定阶码值的办法表示浮点数的指数，好处是可以用长度为 e 个比特的无符号数表示所有的指数取值，这使得两个浮点数的指数大小的比较更为容易，实际上可以按照字典序比较两个浮点数的大小，这种移码表示指数部分，中文称为阶码。

以单精度型阶码表示示例如下：

例 1

如果我们要表示 0，则有 0 + 127 = 127，二进制表示为：0000 0000 + 0111 1111 = 0111 1111

例 2

如果我们要表示 1，则有 1 + 127 = 128，二进制表示为：0000 0001 + 0111 1111 = 1000 0000

例 3

如果我们要表示 2，则有 2 + 127 = 129，二进制表示为：0000 0010 + 0111 1111 = 1000 0001

例 4

如果我们要表示 128，则有 128 + 127 = 255，二进制表示为：1000 0000 + 0111 1111 = 1111 1111

移码 128 即为 8 位二进制移位存储表示的最大正数。

我们再来看一下负数：

例 5

如果我们要表示 -1，则有 -1 + 127 = 126，二进制表示为：1111 1111 + 0111 1111 = 0111 1110

然后，指数 E 还分三种情况：

1. E 不全为 0 或不全为 1 时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数 E 的计算值减去 127(或 1023)，得到真实值，再将有效数字 M 前加上第一位的 1。

2. E 全为 0 时，浮点数的指数 E 等于 1 - 127(1-1023)，有效数字 M 不再加上第一位的 1，而是还原为 0.XXXX 的小数，这样作是为了表示 ±0，以及接近 0 的很小的数值。

3. E 全为 1 时，如果有效数字 M 全为 0，表示 ± 无穷大(正负取决于符号 s)；如果有效数字 M 不全为 0，表示这个数不是一个数 (NaN)。